Пример использования метода Ньютона для решения УУН

УЧЕТ Всеохватывающего Нрава

Характеристик СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ И РЕЖИМА[1]

Система уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока:

. (9.7)

При решении на ЭВМ системы уравнений узловых напряжений для сети переменного тока, обычно, она приводится к системе реальных уравнений порядка , где - число узлов схемы. Для этого представляют матрицы и вектор - столбцы с всеохватывающими элементами в Пример использования метода Ньютона для решения УУН виде сумм матриц и вектор - столбцов с действительными элементами (при всем этом нужно в виде таковой суммы представить каждый полный элемент и учитывать правило сложения матриц):

(9.8)

Подставляя (9.8) в (9.7), получим:

(9.9)

Уравнение (9.9) переписываем, разделяя действительные и надуманные слагаемые.

. (9.10)
. (9.11)

Другими словами, систему уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока можно записать в виде Пример использования метода Ньютона для решения УУН блочного матричного уравнения:

(9.12)

Выражение (9.12) является системой реальных уравнений порядка и содержит неведомых реальных и надуманных составляющих узловых напряжений, представленных в форме реальных чисел.

ОПИСАНИЕ РАСЧЕТА УР При помощи ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Нелинейные уравнения установившегося режима в общей форме можно записать в виде системы неявных функций:

(9.53)

где - вектор-функция.

Эти уравнения связывают меж собой Пример использования метода Ньютона для решения УУН характеристики установившегося режима электронной системы. Часть характеристик режима задана (независящие переменные ). Обозначим вектор-столбец независящих переменных при расчете установившегося режима . Другие (зависимые переменные ) могут быть найдены из уравнений установившегося режима. Обозначим вектор-столбец зависимых переменных .

Число зависимых переменных равно числу уравнений установившегося режима. Это значит, что вектор-функция Пример использования метода Ньютона для решения УУН и вектор-столбец имеют схожую размерность. Зависимо от постановки задачки и методов задания начальных данных в состав векторов независящих и зависимых переменных и могут заходить различные характеристики режима.

Разделение характеристик режима на зависимые и независящие переменные играет важную роль при оптимизации режимов, при определении предельных по статической апериодической стойкости режимов Пример использования метода Ньютона для решения УУН и при исследовании существования и единственности решения уравнений установившегося режима.

При расчетах установившегося режима вектор независящих переменных задан, другими словами , как следует, нелинейную систему уравнений (9.53) можно переписать как

(9.54)

Число уравнений в этой системе также равно числу зависимых переменных , другими словами равно размерности вектора . В итоге решения уравнений УР можно отыскать Пример использования метода Ньютона для решения УУН все зависимые переменные .

Способ НЬЮТОНА

Способ Ньютона для решения систем нелинейных уравнений представляет собой обобщение на многомерный случай способа касательных, используемого для решения 1-го нелинейного уравнения.

Мысль способа Ньютона состоит в поочередной подмене на каждой итерации системы нелинейных уравнений некой линейной системой, решение которой дает значения неведомых, более Пример использования метода Ньютона для решения УУН близкие к решению нелинейной системы, чем начальное приближение. Поясним идею этого способа на примере решения уравнения

(5.4)
Решение уравнения - точка, в какой кривая проходит через нуль (набросок 5.1): Набросок 5.1- Графическая иллюстрация способа Ньютона

Зададим изначальное приближение к решению уравнения и вычислим значение функции . Если точка довольно близка к решению, то для Пример использования метода Ньютона для решения УУН его получения целенаправлено разложить функцию в ряд Тейлора в округах точки :

(5.5)

Выражению (5.5) соответствует касательная к функции, проведенная в точке . Такая касательная показана на рисунке 5.1. Для малых значений приближение (5.5) отлично моделирует саму функцию , потому в качестве приближенного решения начального уравнения целенаправлено использовать решение линеаризованного уравнения (5.5), равное

(5.6)

Полученную точку можно использовать в Пример использования метода Ньютона для решения УУН качестве нового приближения и сделать шаг, в итоге которого будет найдено приближение и т. д. Итерационный процесс получения решения показан на рисунке 5.1.

Аналогично определяется решение для системы нелинейных уравнений. Рекуррентное выражение, представленное в матричной форме записи, имеет вид:

(5.7)

где - матрица Якоби (либо якобиан), составленная из личных производных;

- вектор невязок Пример использования метода Ньютона для решения УУН, вычисленный в точке ;

- вектор поправок к приближению .

Пример использования способа Ньютона для решения УУН

Для электронной сети, представленной на рисунке 5.2, найти напряжения в узлах, используя способ Ньютона (три итерации).

Для рассматриваемой схемы электронной сети может быть записана система нелинейных УУН в форме баланса токов:

(5.8)

Набросок 5.2 Схема электронной сети.

Для решения способом Пример использования метода Ньютона для решения УУН Ньютона система УУН (5.8) представляется в форме баланса мощностей

(5.9)

И приводится к виду

Рекуррентное выражение способа Ньютона:

, (5.10)

Где: 1) элементы матрицы Якоби рассчитываются по формулам:

,

2) вектор невязок рассчитывается в точке по последующим выражениям:

,

3) - вектор поправок к -му приближению .

Новые напряжения рассчитываются по выражению

(5.11)

Для схемы электронной сети, представленной на рисунке 5.2, начальная система (5.9) имеет вид:

Итерация Пример использования метода Ньютона для решения УУН 1

Изначальное приближение: кВ

Вектор невязок записывается:

Элементы матрицы Якоби:

Для данного исходного приближения кВ элементы матрицы Якоби получают значение

Подставляем все отысканные величины в и получаем систему 2-ух линейных уравнений:

Решив ее, находим:

По выражению (5.11):

кВ

Итерация 2

Вектор невязок:

Матрица Якоби:

Система 2-ух линейных уравнений:

Решив ее, находим:

По выражению Пример использования метода Ньютона для решения УУН (5.11):

кВ

Итерация 3

Вектор невязок:

Матрица Якоби:

Система 2-ух линейных уравнений:

Решив ее, находим:

По выражению (5.11):

кВ

Вектор невязок для 4-ой итерации составил бы:


primer-istoriya-dzhastina.html
primer-iz-nashih-dnej-ould-krou-river-kanada-kniga-2004-592-s-v-.html
primer-izmeneniya-nezhelatelnih-ubezhdenij.html